A lezione da Dante: “La divina scienza” [Parte 3/3]

L'ultima lezione di Dante ci conduce ad una intima riflessione: soltanto leggendo sapremo se siamo giunti ad una condizione di pace.


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Ci tengo a ringraziare ancora Elena per
il suo meraviglioso lavoro: grandissima!
Senza di te, non ce l’avrei mai fatta! Grazie!

Dopo due articoli densi di informazioni e citazioni, siamo finalmente giunti al termine della trilogia relativa alla scienza ne “La divina commedia”. Spero che questa serie di articoli possa aver acceso in ognuno dei lettori la piccola sorgente luminosa che, appositamente installata in ogni uomo, riesce a scaldare (per effetto Joule!) il nostro cuore, allietandolo e permettendogli di trovare un metodo per conciliarsi con l’Essere. L’intento, infatti, è cercare di fornire ai lettori uno spunto di riflessione, un’occasione per riassaporare l’opera Dantesca, consapevolmente condita con un pizzico di razionalismo scientifico, sfumato e declinato in un’analisi che cerca di trascendere i limiti umani per trovare un più ampio respiro in una parentesi metafisica e astratta, che auspico di aver aperto in ognuno di voi con gli articoli della sezione “filosofica-mente”. A tal proposito mi sovviene una frase contenuta in “Inneres auge” del mio Maestro Franco Battiato: Ma quando ritorno in me, sulla mia via, a leggere e studiare, ascoltando i grandi del passato, mi basta una sonata di Corelli, perché mi meravigli del creato!”. Ecco. L’uomo riesce a giungere a una rapida ma solenne tangenza con l’Essere. Come? “Ascoltando i grandi del passato”. Voglio invitarvi ad un’intima riflessione per stimolarvi a raggiungere questa pace interiore, che permette di “meravigliarsi del creato”. L’impresa è ardua, è evidente. Ma non impossibile. Gli occhi e le orecchie vanno lentamente allenati per diventare ciò che Battiato definisce “inneres auge”, l’occhio interiore. L’occhio dell’uomo, traendo ispirazione dai più grandi maestri (ed ecco Dante), riesce ad elevarsi al di sopra del piano terreno, raggiungendo così un piano parallelo, più ricco di soddisfazione per il cuore e per l’anima. Solo chi trae godimento dalla poesia, dalla musica e dall’arte può raggiungere questa condizione paradisiaca e primordiale. Dante ci è riuscito e ha scritto un’opera meravigliosa. Battiato scrive canzoni dal sapore di miele e ambrosia. Sta all’uomo cercare l’ordine primordiale ed edenico del mondo.

Eccovi gli ultimi spunti di riflessione sulla Commedia.

… ancora matematica!

Geometria euclidea

Analizzando il testo dantesco possiamo scorgere un altro riferimento alla geometria euclidea (Paradiso XIII, 112-114):

 “Non ho parlato sì, che tu non posse
ben veder ch’el fu re, che chiese senno
acciò che re sufficïente fosse;
non per sapere il numero in che enno
li motor di qua sù, o se necesse
con contingente mai necesse fenno;
non si est dare primum motum esse,
o se del mezzo cerchio far si puote
trïangol sì ch’un retto non avesse”

San Tommaso spiega a Dante come la perfezione della sapienza del primo uomo, Adamo, e di Cristo-uomo non sia in contraddizione con la tradizionale opinione che considera il Re Salomone il più sapiente tra gli uomini. Salomone, infatti, secondo la tradizione biblica, chiese a Dio la sapienza necessaria per essere un valido regnante, non per comprendere questioni metafisiche che rimangono inaccessibili alla mente umana.

In questi versi non compare unicamente un’ indicazione matematica, ma Dante si serve di problemi legati a diversi ambiti di studio come esempi di fenomeni non spiegabili dall’uomo.

  • problema TEOLOGICO, numero delle intelligenze motrici
  • problema DIALETTICO, possibilità di dedurre una conclusione necessaria da una premessa contingente e da una necessaria
  • problema FILOSOFICO, esistenza di un primo moto che non sia effetto di un altro moto
  • problema GEOMETRICO, impossibilità di inscrivere in un semicerchio un triangolo che non sia rettangolo.

In questo caso quindi Dante fa un uso diverso della geometria euclidea: non si appella più al suo rigore affinché una dimostrazione acquisti valore scientifico, ma proprio la certezza logica che caratterizza la matematica diventa indicazione della limitatezza della mente umana, in quanto incapace di comprendere le ragioni metafisiche che permettono a tale disciplina di essere così perfetta.Per esprimere questi concetti il poeta fa riferimento a un semplice teorema dimostrabile mediante gli insegnamenti di Euclide: ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo.

Quadratura del cerchio

L’importanza che Dante attribuisce alla matematica è confermata dalla conclusione del poema, dove l’autore sceglie come ultima similitudine una raffinata immagine matematica. In Paradiso XXXIII, 133-136, leggiamo:

“Qual e’ ‘l geometra che tutto s’affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
tal era io a quella vista nova”

Il canto si svolge nell’empireo e Dante, ormai giunto alla fine della narrazione, racconta la visione della trinità, che appare come tre cerchi (o sfere) di uguale grandezza e diverso colore e dell’incarnazione, visibile nel secondo cerchio, nel quale è racchiusa un’immagine umana. Si tratta di misteri non conoscibili con facoltà umana; in particolare lo sforzo logico e umano di Dante è insufficiente a penetrare il sommo mistero dell’unione tra l’umano e il divino, così come lo sforzo del matematico è vano di fronte al mistero della quadratura del cerchio.
Il problema della quadratura del cerchio consiste nel costruire un quadrato che abbia la stessa area di un dato cerchio con l’uso esclusivo di riga e compasso. Questo, la trisezione dell’angolo e la duplicazione del cubo costituiscono i tre grandi problemi della geometria greca.
Eseguire una costruzione con riga e compasso significa tracciare segmenti e angoli servendosi esclusivamente di una riga e di un compasso idealizzati, ossia non graduati. Il problema delle costruzioni con riga e compasso ha accompagnato gli sviluppi della geometria nella Grecia antica. Infatti, per i matematici greci i problemi geometrici si presentavano non nella forma genericamente esistenziale, ma in quella costruttiva.
La quadratura del cerchio con l’uso esclusivo di riga e compasso non è possibile: infatti trovare una soluzione richiederebbe la costruzione del numero π, perché essendo l’area del cerchio π r2, sarebbe necessario costruire un quadrato con lato pari a rπ1/2. L’impossibilità di una tale costruzione, deriva dal fatto che π è un numero trascendente, ovvero non-algebrico, e quindi non-costruibile. La trascendenza di π fu dimostrata da Ferdinand von Lindemann nel 1882, e quindi l’impossibilità venne provata rigorosamente, anche se i geometri dell’antichità avevano afferrato molto bene, sia intuitivamente che in pratica, la sua intrattabilità.
Dante si trova a dover descrivere il mistero dell’incarnazione, inaccessibile all’uomo, per quanto questi si sforzi di coglierne l’essenza mediante gli strumenti di cui è dotato. Il poeta trova il modo per esprimere la disperazione razionale di chi cerca senza esito con la ragione, senza riuscire a raggiungere qualche cosa che sfugge sempre per poco, che appare sempre e solo quasi raggiunta. L’uomo tende alla comprensione dei misteri divini così come l’area del quadrato tende a quella del cerchio, con un’approssimazione sempre minore, senza però mai raggiungerla pienamente.
La ricerca matematica diventa così il simbolo della ricerca teologica e metafisica; le dinamiche di queste discipline così apparentemente lontane vengono fatte coincidere.

Terza parte – Conclusione

“La divina commedia” letta dagli scienziati

Dante celebra la matematica come altissima forma di sapere, inserendola nella sua opera in numerose occasioni. Simmetricamente molti scienziati di ogni epoca sono rimasti affascinati dall’opera di Dante, sia per il suo grande valore letterario, sia per i riferimenti matematici che hanno fornito spunti per approfonditi studi e riflessioni. Riporto due esempi di letture scientifiche dell’opera.

 Galileo Galilei nel 1588 fu chiamato dall’Accademia Fiorentina a tenere alcune conferenze di argomento letterario, in particolare tenne due lezioni “Circa la figura, sito e grandezza dell’inferno di Dante”. Galileo si proponeva di illustrare con metodo scientifico la forma e le dimensioni dell’Inferno dantesco. L’analitico studio della geografia del luogo e delle sue misure portò alla scoperta dell’assoluta correttezza e coerenza del testo poetico, tale da rendere perfettamente plausibile la voragine infernale. Ad esempio Galileo trae da alcuni versi dell’inferno i riferimenti per misurare l’altezza di Lucifero e da qui perviene alla dimensione dell’ immenso lago ghiacciato situato nel nono cerchio dell’inferno, essendo il raggio di questo pari alla metà del petto del diavolo.

In tempi più recenti, Horia-roman Patapievici , fisico romeno contemporaneo, nel libro Gli occhi di Beatrice. Com’era davvero il mondo di Dante?, (2004), azzarda un’indagine ancora più complessa rispetto a quella di Galileo: secondo la sua tesi l’universo delineato da Dante ha anticipato il modello dell’universo teorizzato da Reimann, basato sul concetto di ipersfera. Reimann ipotizza che, come la terra non può essere adeguatamente rappresentata su una superficie piana perché dotata di una dimensione in più, così l’universo non può essere rappresentato da un modello semplicemente sferico perché dotato di un’ulteriore curvatura. Immaginiamo un osservatore che dal polo nord osserva le linee dei paralleli terrestri: vede delle circonferenze che si allargano progressivamente fino a raggiungere il diametro massimo dell’equatore. Se l’osservatore si sposta e raggiunge l’equatore, guardando verso nord e guardando verso sud vede le linee dei paralleli che riducono il loro diametro avvicinandosi rispettivamente al polo nord e al polo sud. Infine, se l’osservatore prosegue il suo percorso nella stessa direzione, raggiunge il polo sud, nuovamente l’equatore, e alla fine ritorna alla posizione di partenza.

Proviamo ora a trasferire questo sistema in un mondo a quattro dimensioni aiutandoci attraverso il seguente disegno:

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Immaginiamo un osservatore al centro della sfera a sinistra e immaginiamo che l’interno di tale sfera rappresenti tutto ciò che l’osservatore può vedere. Egli non vede più le circonferenze dei paralleli che aumentano di diametro, ma delle sfere, che raggiungono il diametro massimo in corrispondenza della sfera equatoriale. La sfera equatoriale corrisponde alla superficie che due sfere hanno in comune, così come l’equatore è il parallelo comune alle due semisfere del globo terreste. Se l’osservatore raggiunge la sfera equatoriale e guarda verso nord e verso sud, vede due serie di sfere concentriche che diminuiscono il loro raggio avvicinandosi a due punti opposti. Infine, se l’osservatore prosegue il suo percorso, ritorna al centro della sfera di sinistra, da dove era partito. Su una comune sfera, i cerchi concentrici, partendo da un punto, diventano progressivamente maggiori fino a raggiungere una grandezza massima, per poi tornare a diminuire la loro circonferenza convergendo in un altro punto diametralmente opposto a quello di partenza; analogamente, su un’ipersfera, sfere concentriche crescono fino ad una grandezza massima per poi rimpicciolirsi nuovamente. Dante racconta di quando, raggiunta la sfera più esterna dell’universo aristotelico, Beatrice lo invita a guardare verso il basso e il poeta contempla le nove sfere concentriche dei cieli, con in fondo, piccolissima, la Terra in rotazione; alza poi lo sguardo verso l’alto ed è folgorato da un punto di luce abbagliante – Dio –circondato da nove immense sfere di angeli. Patetpievici individua in questa descrizione proprio il modello descritto prima: i due estremi dell’ipersfera sarebbero la terra e Dio, visibili entrambi dal “primo mobile”, corrispondente alla sfera equatoriale.

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Ovviamente Dante non fu il profeta della geometria non euclidea di Riemann pubblicata nel 1854. Il suo mondo a quattro dimensioni è l’inconsapevole risultato del tentativo di conciliare la cosmologia aristotelica con la visione cristiana: un universo finito, materiale e geocentrico, con un universo infinito, spirituale e teocentrico. Dante non descrisse coscientemente un’ipersfera, ma questa potrebbe bene descrivere l’universo da lui concepito.
Le lezioni di Galileo e l’interpretazione di Patepievici sono state molto discusse e spesso criticate. Le letture scientifiche della Divina Commedia sarebbero frutto della limitante critica moderna sempre meno capace di abbandonarsi all’esperienza letteraria pura e semplice e concentrata invece sempre di più sulle questioni scientifiche. Ma è proprio vero che la lettura scientifica di un’opera letteraria ne riduce la ricchezza? La stessa Divina Commedia risponde negativamente a questa domanda. E non solo perché è lo stesso Dante il primo a creare una straordinaria coordinazione tra le discipline appartenenti agli ambiti più diversi affinchè tutte collaborino alla rappresentazione poetica del suo viaggio, ma perché i matematici, con i loro metodi di indagine scientifici, hanno contribuito a esaltare il lavoro di immaginazione e a mostrare come esso, se verosimile, possa essere ancora più mirabile.

Pubblicato da Davide Bianchi

Dietro un piccolo uomo si nasconde un grande appassionato di fisica con un debole per la filosofia e la storia. Il suo unico Maestro di vita è Franco Battiato.