Scimmie instancabili, pizze, panini al prosciutto ed altri teoremi

La "scimmia instancabile" non è il nome di una specie in via d'estinzione, ma un teorema che ci mostra come un primato, con tanta pazienza, potrebbe comporre l'Hamlet digitando casualmente su di una tastiera. Pensi che le stranezze dei teoremi in matematica siano finite qui?


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Sebbene io possa solo immaginare la repulsione che (forse) provi nei confronti della matematica, considerando quante davvero poche siano le persone che la amino incondizionatamente, la sua utilità è innegabile.

La matematica rappresenta non altro che una differente forma di linguaggio che, oltre a permettere la descrizione di tutti i fenomeni presenti in natura, spesso è fondamentale per ricavare informazioni e conclusioni a cui sperimentalmente si giunge solo dopo innumerevoli fallimenti.

Un esempio per tutti è l’equazione di Klein-Gordon.

rf

Questa rappresenta il primo tentativo di costruire un’equazione relativisticamente corretta per particelle quantistiche.

Per molti anni il risultato di questa formulazione lasciò interdetti i fisici dell’epoca. Infatti si arriva ad avere stati identici (ovvero il sistema è posto esattamente nello stesso modo) ma che presentano unicamente opposta energia. Immaginare una densità di stati energetici negativi è l’incubo di ogni scienziato. Ugualmente si riesce ad ottenere un’interpretazione fisica: il segno negativo non è legato tanto all’energia della particella ma piuttosto alla loro carica elettrica. Esistono allora in natura due particelle identiche con carica opposta che sono rispettivamente particella ed antiparticella.

Questo piccolo preambolo non serve tanto ad introdurre le equazioni quantistiche  relativisticamente corrette o le fantastiche teorie legate all’antimateria, ma semplicemente per farti capire l’enorme potere del linguaggio matematico, che permette di giungere a conclusioni, fisicamente corrette, prima di qualsiasi ipotesi o immaginazione.

Abbiamo già parlato, inoltre della relazione profonda tra matematica e letteratura, e non sarò io a riprendere questo discorso o ad iniziare discussioni profonde sul senso della matematica (ci ha già pensato il mio omonimo).

Oggi tratteremo la matematica in maniera diversa, tenteremo di abbattere l’ostilità che hai costruito tra te e questa fantastica materia, trattando alcuni dei teoremi dai nomi più strani.

Iniziamo da un teorema bestiale.

Il teorema della scimmia instancabile

una scimmia che prema a caso i tasti di unatastiera  per un tempo infinitamente lungo certamente riuscirà a comporre qualsiasi testo prefissato

E’ realmente possibile?

Ipotizziamo di voler far scrivere alla nostra povera scimmia la prima lettera dell’alfabeto. La probabilità che, premendo casualmente i tasti, riesca ad indovinare la lettera prefissata è 1 su 26. Se azzeccata la prima, si volesse ottenere la lettera B, la probabilità sarebbe uno su 676 (26×26).

Così formulato il teorema è effettivamente valido. Calcolando infatti la probabilità che il testo ottenuto non sia corretto, dopo aver premuto un numero infinito di volte i tasti, si ottiene un valore pari a zero. Per cui la probabilità di ottenere la frase prefissata dopo aver premuto infiniti tasti deve essere pari ad 1: si ha la certezza che il fenomeno avvenga.

Questa conclusione deriva dal secondo Lemma di Borel-Cantelli che indica la probabilità di fallimento come:

prob

La prima obiezione a questa congettura è stata formulata nel libro di R. Darwins: L’orologiaio cieco: Creazione o evoluzione?

Potremmo ad esempio chiederci quale sia  la probabilità che una scimmia battendo a caso tasti di una macchina da scrivere, dove ogni tasto ha la stessa probabilità di essere premuto, produca al primo tentativo l’Amleto (composto da 130.000 lettere) tralasciando punteggiatura, spaziatura e maiuscole.

La probabilità è uno su 3.4×10^183,946 .

Voglio stupirti e farti capire come però quanto detto dal teorema, anche se poco probabile, possa essere sempre realizzabile. Il sito Monkey Shakespeare Simulator Project ha riprodotto l’attività dei mammiferi iniziando il 1 luglio 2003 con 100 ‘scimmie virtuali’.

La popolazione dei primati che è stata raddoppiata ogni due o tre giorni fino al 2007. In tale periodo sono state prodotte oltre 1035 pagine, ognuna contenente 2000 battute.

Confrontando i testi ottenuti con i componimenti di Shakespeare, si sono ottenuti ben 24 caratteri identici a quelli presenti in una frase della parte seconda dell’Enrico IV.

…RUMOUR. Open your ears; 9r”5k5&?OWTYZ…

Vedi, Billy è realmente solo una questione di tempo.

Prima di continuare voglio introdurti in un piccolo viaggio mentale: considera una composizione casuale ed infinita di caratteri. In questa composizione sarà possibile trovare tutta la conoscenza dell’uomo, nuove nozioni ancora ignote o false verità. Un sistema in cui è TUTTO riportato letteralmente. ((Quando ti sarai ripreso fai un giretto su questo sito)).

Lasciando le scimmie al loro lavoro è ora di passare a teoremi per così dire di tipo culinario. Esiste infatti un teorema topologico dal nome altamente allettante:

Il teorema del panino al prosciutto

Con topologia si intende lo studio delle proprietà geometriche delle figure che non dipendono dalla nozioni di misura, ma sono legate a problemi di deformazione delle figure stesse.

Il teorema sopra citato afferma che, assegnati tre oggetti di forma, dimensione e posizione arbitraria nello spazio, esiste sempre un piano capace di dividere contemporaneamente i 3 oggetti in due parti uguali.

Questo teorema è un caso particolare del teorema Stone-Turkey:

dati n oggetti aventi forma, dimensione e posizione arbitraria in uno spazio ad n dimensioni esiste sempre un iperpiano di dimensione (n-1)in grado di bisecarli tutti contemporaneamente.

I tre oggetti nel teorema al prosciutto possono essere considerati le due fette di pane ed una di prosciutto.

Partendo dall’ideale di panino in cui i tre componenti sono perfettamente impilati è facile immaginare un piano, assimilabile come la lama di coltello infinitamente lunga e larga, capace di dividere nello stesso momento il pane e il prosciutto in due parti uguali.

Non correre, Billy, il teorema è più potente di quanto tu possa immaginare, non esiste infatti nell’enunciato alcuna informazione riguardante la disposizione relativa delle tre parti. Ciò vuol dire che qualsiasi sia la posizione delle due fette di pane e del prosciutto dovrà sempre esistere un enorme coltello capace di bisecare tutti e tre.

Anche ponendo il prosciutto sulla torre di Pisa, una fetta di pane sulle spiagge della Calabria e l’altra sulla Luna (ricordati di guardarla stasera), sappi che potrai trovare un piano con le caratteristiche citate.

Un caso ancora più semplice del teorema di Stone-Turkey è:

Il teorema delle frittelle

In questo caso presi due oggetti bidimensionali nello spazio esisterà una retta capace di bisecarli.

Non si può non terminare con la pizza, la pizza è sempre una buona conclusione per cui ecco anche:

Il teorema della pizza

Questo teorema risolve il problema di come possa essere divisa una pizza in due parti uguali, come se esista davvero una persona al mondo che voglia dividere con qualcuno la sua pizza.

Siano p un punto interno al disco e n un intero multiplo di quattro e maggiore o uguale ad otto. Si partiziona il disco in n settori equiangolari, costruiti tracciando una retta per p e ruotandola n/2 − 1 volte intorno a p di un angolo pari a 2π/n. Se si numerano progressivamente i settori in senso orario o antiorario, allora la somma delle aree dei settori associati ad un numero pari è uguale alla somma delle aree dei settori associati ad un numero dispari.

pizza1

Ad una prima occhiata, specialmente nel primo caso, è effettivamente complicato credere che quanto affermato dal teorema possa essere valido. Una dimostrazione un po’ euristica ma visivamente di grande effetto è stata ottenuta da Larry Carter e Stan Wagon che hanno assegnato ad ogni spicchio un insieme di figure che lo componessero, assegnando ad ogni figura  una lettera. L’unione della medesima lettera minuscola e maiuscola indica parti uguali in due spicchi ((Una dimostrazione matematicamente corretta si trova QUI)).

 

pizza-theorem-2

Un ulteriore teorema che abbiamo già trattato qui nel blog è il teorema della palla pelosa, se ti incuriosisce vai pure a leggere.

Anche per oggi abbiamo terminato.

Acta est fabula

Pubblicato da Davide Loiacono

Prodotto tenace commissionato (con amore) in Calabria. Vive di passioni e la curiosità è la sua unica vera musa! Studente Polimi di cose strane per capriccio del caso o voglia del suo Dio.